羅慶瑞
返回列表【專論】水土交感作用與達飽和時間之探討
摘 要
水與土這一動一靜的相互作用，為這大自然的地球帶來了生動的變化，也因兩者間之失去平衡而帶來了不勝枚舉的災害。水這一個動態的因子，常會在災禍前透露信息來警告世人，惟因以往我們不太在乎它的變化，甚而忽略了它，破壞了它，侵佔了它的空間，而仍洋洋自得，不知禍之將至，看看土石流便是一個明證，尤其高度開發更加速其發生之機率。本文乃在探討水與土互相作用下，何時是土石流之預警發生時刻，明白其機制，才可真正達到防災及預警之目的。此外，本文係水利會訊之第二期中“降雨強度與降雨入滲特性探討”之後續文章，提出此一文與各位共享。
一、基本公式：連續方程式
………………………………………………………(1)
式中：qt表示total flux rate；
qw表示volume flux rate of wetting phase；
qnw表示volume flux rate of non-wetting phase；
其中式(1)中，又可改成下式(2)：
………………………(2)
若取qx與Z為向下為正，則由：
故：
…………(3)
式(3)右式第一項叫做 ” total mobility ”Λ，若式(3)各以Λ去除雨邊，
則得下式(4)：
…………………………(4)
其中式(4)右最末一項可以不計，因為ρa非常小。而由式(2)至式(4)
中之各符號定義如下：
kw：effective permeability to wetting phase；
μw：dynamic fluid viscosity to wetting phase；
ka ：effective permeability to air；
μa：dynamic air viscosity；
ρw：fluid density；
ρa：air density；
g ：gravidy acceleration；
Pa：孔隙中總壓力；
Pc：capillary pressure；
Pw：pressure of wetting fluid；
fw ：1-fnw；
fnw：function of permeability and viscosity ratios；
…………………(5)
式(5)中，可用以排水(drainage)亦可用以求入滲(infiltration)因為沒有設定其相位(phase)為何。一般而言，空氣與水之對流動的阻抗是明顯的而且水之飽和剖面亦未知。因此，要求得式(5)之解除非能建立出數理──統計求解法，否則，則只有運用數值解。若供水之水頭為常數下的入滲情況時，式(5)可成一個簡單式。
當水被截蓄在土壤表面成一個常定水深，H，有部份土壤剖面便開始進入飽和(saturated)，除非有空氣氣泡滲入(entrapped air)，否則將是完全飽和狀態。此時，Pc在土壤表面之大小為零。此一完全飽和之區域將深入到地下Zf處，亦即在地表到此Zf處其S=Sm，而Zf以下處S<Sm；而在此完全飽和區，其fw=1.0且qt=qw，在此情況下，qw即所謂的入滲率(infiltration rate)並定義為If。
在濕界鋒(wetting front)以上之處，ka=0，因此，Λ＝km/μw，此處km表示在S=Sm時之kw值，因此，式(4)更可簡化為：
………………………………………(6)
式中：Sm：表示完全飽和度（最大飽和度）；
S ：表示當時之飽和度；
km：maximum field conductivity；
hf ：Pc /ρw g at Zf；
Zf：表示自地表到達wetting front之飽和深度；
式(6)中提供If與Zf之關係，但並未表示出其在時間上的變化，亦即未能表示此一If值何時會發生，此外，亦未能反應出S對Z與t之函數關係。為求得此一方面的資訊，將連續方程式予以適度介入是有必要的。
………………………………………………………(7)
因為S與hc（毛管水壓水頭）為相互影響者，故當式(7)與通量方程式(flux equation)結合時，便為一非線性式。
假設 ” 濕周鋒以上之土壤完全入滲之情況成立 ” ，則由下式(8)可得：
………………………………………………(8)
其中：
：表示porosity（孔隙率）；
為有效孔隙率；
V(t)：在時間t時單位面積下之入滲水量之體積；
Si ：為初始水飽和度(at，t=0)此時所有之土壤飽和度均相同。
又由
………………………………………………(9)
其中
；將式(9)與式(6)合併並對Z予以積分，則：
………………………………………………(10)
其中
且
，因此：
……………………………………(11)
其中 
………………………………………………(12)
由式(11)便可知達到飽和的時間t；在運用式(11)中，有一些值需先知道：
(1)初始含水量θi； (2)最大含水量θm
(3)km≒0.5k1.0 (4)k1.0乃在S=100%之傳導係數；
(5)Ht=H+hf；
當S=Sm時截蓄(ponding)便產生，此亦有待決定其發生之時間。可用下式求出：
……………………………………(13)
其中r其示降雨強度(rainfal rate)即qw在Z=0處，而
；fi表示在θi時之fw值；β為一個參數：
………………………………(14)
其中krw：relative permeability to wetting phase；
fw”：d2fm/dθ2；
d：pore size；
又
即fw對hc之積式由hc=0到hc=hc-；而
θ-：在不連續鋒上游之含水量。
此處之Hc如上式定義，但此時在Z=0處Pc≠0，而且
當fi→0，θi→θr(residual water content)。
(1)無逕流且無截蓄 (2)有逕流但無截蓄
Q Q
r<If r>If
F<St F<St
t t
(3)無逕流但有截蓄 (4)逕流與截蓄皆有
Q Q
r<If r>If
F>St F>St
t t
當降雨量(r)與入滲率(If)合稱為逕流歷線外因與入滲容量(F)及土壤容水(St)，合稱為逕流歷線內因，有相互影響時，其有無地表逕流(1)及(2)或截蓄(3)或兩者皆有(4)便會產生。其中
。
有關入滲之機制 wetting front trend and trace
↓ ↓ ↓ ↓ ↓r
+ t=0 t=0
Zf ↓ ↓ ↓ If
t=tI t=tI
t=t2 t=t2
wetting front
（濕圖鋒走勢）